Conjunto Generador

Todo vector en R3 es de la forma v: [a, b, c] y se puede escribir cómo:

Imagen no. 1: combinación lineal del vector V

Se dice que v es una combinación lineal de los vectores e1, e2, e3. Por eso, R3 es el espacio generado el conjunto generado por {e1, e2, e3} o también puede decirse que {e1, e2, e3}  es un conjunto generador de R3.

• Espacio generador

Es el espacio que contiene al vector o al conjunto de vectores bajo un dominio. Este puede ser R2, R3 o un módulo.

Imagen no. 2: notación

• Conjunto generador

Es una serie de vectores que dentro de un espacio generador pueden dar como resultado en R2, R3, un vector específico o incluso respuestas dentro de un módulo.

• Independencia o dependencia lineal

Se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente (l.i.) cuando la combinación lineal de los vectores igualada a cero, tiene como valor de sus escalares cero.

Si almenos uno de los escalares es distinto a cero, el conjunto es linealmente dependiente (l.d.).

Para determinar si un sistema es (l.i.) se necesitan encontrar la misma cantidad de escalares que vectores presentes y que la combinación lineal de cero. Este procedimiento se puede realizar por medio de matrices.

• Tip: en caso de que se necesite parametrizar una variable, el sistema es (l.d.). Esto da como resultado infinitas soluciones.  

• Para este caso, el resultado es (l.d.) porque se necesito parametrizar el último componente para obtener una respuesta.

Intersecciones de Planos

Interseccion de planos

• Si los planos tienen sus trazas paralelas, quiere decir que no se cortan (o más correctamente que se cortan en el infinito) por lo que la proyección correspondiente de la recta intersección será paralela a dichas trazas. La otra proyección de la recta intersección será paralela a la línea de tierra.
• En planos paralelos a la línea de t

Producto escalar y Producto cruz

• Producto punto-escalar

Imagen  no. 1: Definición formal de producto escalar

En palabras, u°v es la suma de los productos de los componentes correspondientes de u y v. Es importante notar un par de cosas acerca de este “producto”que se acaba de definir: 

1. Los vectores u y v deben tener el mismo número de componentes. 
2. El producto punto u°v es un número, no otro vector. 

• Es por esto que u°v en ocasiones se conoce como el producto escalar de u y v.

• EJEMPLO:

Video no. 1: Producto punto entre vectores

 

 

• Producto cruz producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a ambos vectores y su dirección será igual. 

Imagen no. 3: gráfico del resultado

 

Imagen no. 2: operación del producto cruz.

• Propiedades del producto vectorial

Fuente: [David Poole. (2011). Fuente: [ Álgebra lineal, una introducción moderna.. México: Cengage Learning.]
Fuente: [Vitutor.com]

Distancia y ángulos de vectores

• Distancia entre dos vectores

La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos en la recta numérica real o entre dos puntos en el plano cartesiano. Sobre la recta numérica ,la distancia entre los números a y b está dada por | a-b | .(Tomar el valor ab- soluto garantiza que no es necesario conocer cuál de a o b es mayor.) Esta distancia también es igual a  y su generalización bidimensional es la familiar fórmula para la distancia d entre los puntos (a1, a2) y (b1, b2), a saber:

• EJEMPLO:

• Ángulos entre dos vectores

El producto punto también se puede usar para calcular el ángulo entre un par de vectores. En R2 o R3, el ángulo entre los vectores u y v distintos de cero se referirá al ángulo determinado por estos vectores que satisfaga 0 y 180 .

• EJEMPLO: 

Calcule el ángulo entre los vectores  u=[2, 1, 2] ,  v = [1, 1, 1].

Solución en la imagen:

Rectas y Planos

 

Vectores ortogonales y Proyecciones

• Vectores ortogonales

El concepto de perpendicularidad es fundamental para la geometría. Quien estudie geometría rápidamente se dará cuenta de la importancia y utilidad de los ángulos rectos. Ahora se generalizará la idea de la perpendicularidad para los vectores en R n, donde se le llama ortogonal. En R 2 o R 3, dos vectores u y v distintos de cero son perpendiculares si el ángulo  entre ellos es un ángulo recto; esto es, si (pi / 2) radianes o 90 . Por tanto,

Imagen no. 1: vectores ortogonales

• Teorema de Pitágoras

Imagen no. 2: teorema de Pitágoras

• Proyecciones

Las proyecciones son distancias entre dos vectores distintos a cero, en donde se busca determinar la distancia de un vector sobre el otro. 

• EJEMPLO:

 

Fuente: [ Álgebra lineal, una introducción moderna. 3era edición.]

Desigualdades en vectores

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice que el producto punto entre dos vectores sera menor o igual a la multiplicación de sus magnitudes. Este sera igual cuando uno de los vectores sea cero. 

Para todos los vectores u y v en n 

|u ° v| ≤ ||u|| * ||v||

Explicado de otro modo, ver en el vídeo siguiente.

• Desigualdad de un triángulo

La desigualdad de un triángulo en el tema de los vectores dice que, la magnitud de la suma de dos vectores sera menor o igual a la suma de las magnitudes de los mismos vectores. 

Para todos los vectores u y v en n 

||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

Esta se cumple cuando ambos vectores van en la misma dirección y son paralelos. 

Fuente: [David Poole. (2011). Álgebra lineal, una introducción moderna. 3era edición. México: Cengage Learning.]

Vectores unitarios y normalización

• Vectores unitarios estándar

Imagen no. 1: definición de vectores unitarios

Una mejor explicación, los vectores unitarios son aquellos con una longitud de 1. 

• Normalización de un vector

La normalización de un vector es una operación en la que se busca obtener un segundo vector con la misma dirección que el primer vector.

Imagen no. 2: normalización de un vector

Para una mejor explicación, ver el vídeo siguiente.

• EJEMPLO

Siendo v el vector cuyas componentes son [3, 4], encuentre un vector unitario.

Fuente: [Vitutor.com]

Rn y Combinación lineal

• Vectores en Rn

En general, Rn se define como el conjunto de todas las n-veces ordenadas de números reales escritos como vectores renglón o columna. Por ende, un vector v en R n es de la forma:

Imagen no. 1: representación del vector

Las entradas individuales de v son sus componentes; vi se llama el componente i-ésimo. Las definiciones de suma vectorial y multiplicación escalar se extienden a n en la forma obvia: 
Si u = [u1,u2,...,un] y v = [v1,v2,...,vn], el componente i-ésimo de u es ui y el componente i-ésimo de cv sólo es cvi. Dado que en n ya no se pueden dibujar vectores, es importante poder calcularlos. 

• Combinación Lineal de Vectores

Se le llama una combinación de vectores a una operación algebraica que involucra a dos o más vectores. 

Teniendo como vectores: u y v, y dos escalares: a y b; la operación au + bv da como resultado la suma de los vectores multiplicados por sus escalares correspondientes.

Imagen no. 2: representación gráfica de una combinación vectorial

Fuente: [David Poole. (2011). Álgebra lineal, una introducción moderna. 3era edición. México: Cengage Learning.]
Fuente: [Vitutor.com]

Vector Renglón y Vector Columna

El vector es una matriz que tiene únicamente un renglón o una columna.

• Vector renglón

Es una matriz que tiene un solo renglón. Un vector renglón R con n elementos r1j tiene una dimensión 1x n y la forma general:

Imagen no. 1: vector reglón

• EJEMPLOS

• Las 5  calificaciones obtenidas por el alumno 1 en la prueba pueden representarse por el vector renglón (1x5) A así

• La matriz B que se da a continuación es un vector renglón (1 x 8) 

• La matriz C -de medidas obtenidas- de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, son 10 integrantes da un vector renglón (1 x 10)

• Vector columna

Es una matriz que tiene una columna solamente. Un vector columna C que posea m elementos cj1 tiene la dimensión m x 1 y la forma general

    

Imagen no. 2: vector columna

• EJEMPLOS 
• En la matriz anterior de las calificaciones conseguidas en la prueba obtenida por los cinco alumnos en el primer examen podrían representarse mediante el vector columna (5x1)

• La matriz de medidas obtenidas de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, 1 alumno con las medidas de su cuerpo da un vector columna (3 x 1)

Fuente: [ Álgebra lineal, una introducción moderna. 3era edición.]

Operaciones y Propiedades

Para trabajar con vectores hay que utilizar sus componentes en la mayoría de las operaciones.

• Suma y resta de vectores

Estas operaciones con la suma de los componentes de los diferentes vectores presentes en la operación. 

Algebraicamente, la suma consiste en la adición de los componentes de los vectores. En cambio la resta es la adiciones de uno de los vectores con el negativo de otro. 

Imagen no.1: operaciones con vectores

Gráficamente, se puede obtener el valor del vector resultante por dos métodos.

• Directo
• Se traza el primer vector en el plano. El segundo vector tiene su origen en la cabeza del vector anterior. Al terminar de posicionar todos los vectores, se une la cola del primer vector con la cabeza del último vector por medio de una línea.

Imagen no.2: suma de vectores

Imagen no. 3: resta de vectores

• Regla del paralelogramo
• Se trazan los vectores desde el origen del plano. Luego se trazan un par de rectas paralelas para formar un paralelogramo. El vector resultante sera la diagonal entre el origen y el punto donde se interceptan las líneas paralelas. 

Imagen no. 4: regla del paralelogramo

• Múltiplo escalar

Un escalar es un vector que no tiene dirección, es un número real. Este número al multiplicar un vector puede afectar la magnitud y/o dirección del mismo.

• c * u = [cux, cuy, cuz] ,      Siendo c un escalar, entonces: 

• c > 0 : es positivo, la magnitud aumenta y la dirección es la misma.
• c < 0 : es negativo, la magnitud aumenta y la dirección es opuesta.
• 0 < c < 1 : es positivo, la magnitud disminuye y la dirección es la misma.
• -1 < c < 0 : es negativo, la magnitud disminuye y la dirección es opuesta.

• Propiedades

Al igual que la multiplicación y la suma, los vectores también tiene propiedades que proveen más facilidad para operar.

- Siendo u, v y w vectores, c y d escalares: 

1. Propiedad conmutativa
• Suma: u + v = v + u
2. Propiedad asociativa
• Suma: u + (v + w) = (u + v) + w
• Multiplicación: (cd)u = c(du)
3. Propiedad identidad
• Suma: u + 0 = u
• Multiplicación: 1 * u = u
4. Propiedad distributiva
• c(u + v) = cu + cv 
• u(c + d) = uc + ud

• Combinación lineal

Es la suma de dos vectores que están siendo multiplicados por cada uno por un escalar. Esta se representa de la siguiente manera: 

Imagen no. 5: combinación lineal

Siendo a y b escalares, u y v vectores. 

Vectores

Un vector es un segmento de recta que tiene magnitud y dirección. Pueden estar representados de cuatro maneras.

1. Como una letra minúscula con una fecha sobre sí misma

• 

  Imagen no. 1: notación de un vector
2. Con una letra en "negrillas"
• v, s, u...
3. Con sus componentes
• Es importante destacar que se utilizan corchetes -[]- y comas -,- para contener y separar a las componentes. El orden de estas es el mismo que se utiliza para determinar un una coordenada en un plano cartesiano. 
• Pueden estar posicionadas linealmente o ser colocadas una sobre otra en forma de columna. Siempre en orden: x, y, z, .... etc. 
• [x, y, z, ... n] 
4. Gráficamente
• Representado en un plano, se coloca en un plano -R^2, R^3 o R^n- en función de sus componentes. 

Imagen no. 2: representación gráfica de un vector

• La magnitud 

También llamada longitud o norma, es la que determina el tamaño de un vector. Su notación consiste en encerrar al nombre del vector entre dos líneas. 

• ||v||

Esta se puede determinar de manera algebraica, ya que la magnitud es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de sus componentes. Es parecida a la fórmula de la distancia.  

Imagen no. 3: magnitud de un vector

• La dirección

La dirección de un vector es el sentido en la cual apunta la cabeza de este. 

Imagen no. 4: partes de un vector

A diferencia de la magnitud, la dirección esta dada por un ángulo agudo en radianes; no en grados. Este se encuentra por medio de la fórmula de tangente para un plano R^2; en donde se despeja para el ángulo: 

Imagen no. 5: fórmula de tangente para encontrar el ángulo en radianes.

Para calcular ángulos en R^3, se utiliza otra fórmula debido a la cantidad de componentes de esta. La fórmula es la siguiente: 

Imagen no. 6: fórmula para calcular ángulos en R^3.

En el caso de necesitar el ángulo entre dos, la fórmula se acoplará a coseno inverso del producto escalar de los vectores partido la multiplicación de sus magnitudes. 

• Posición estándar 

Se refiere a un vector que parte del origen hacía cualquier otro punto dentro del plano. Esto quiere decir que la cola del vector debe de tener las coordenadas (0,0). 

• Vectores importantes
• Vector cero
• Este es un vector cuya magnitud es 0 y tiene una dirección indefinida.
  
  

  

  Imagen no.7: vector cero

• Negativo
• Es un vector cuya magnitud es la misma pero tiene una dirección opuesta al vector original. 

• Iguales o equivalentes
• Son vectores que tienen la misma magnitud y dirección.

• Vector paralelo
• Son vectores con una misma o dirección opuesta.

Imagen no.8: vectores paralelos

• Vector ortogonal (perpendicular) 
• Son vectores que tiene un ángulo de 90° o (pi/2) entre si.

Imagen no.9: vectores ortogonales