Operaciones y Propiedades

Para trabajar con vectores hay que utilizar sus componentes en la mayoría de las operaciones.

• Suma y resta de vectores

Estas operaciones con la suma de los componentes de los diferentes vectores presentes en la operación. 

Algebraicamente, la suma consiste en la adición de los componentes de los vectores. En cambio la resta es la adiciones de uno de los vectores con el negativo de otro. 

Imagen no.1: operaciones con vectores

Gráficamente, se puede obtener el valor del vector resultante por dos métodos.

• Directo
• Se traza el primer vector en el plano. El segundo vector tiene su origen en la cabeza del vector anterior. Al terminar de posicionar todos los vectores, se une la cola del primer vector con la cabeza del último vector por medio de una línea.

Imagen no.2: suma de vectores

Imagen no. 3: resta de vectores

• Regla del paralelogramo
• Se trazan los vectores desde el origen del plano. Luego se trazan un par de rectas paralelas para formar un paralelogramo. El vector resultante sera la diagonal entre el origen y el punto donde se interceptan las líneas paralelas. 

Imagen no. 4: regla del paralelogramo

• Múltiplo escalar

Un escalar es un vector que no tiene dirección, es un número real. Este número al multiplicar un vector puede afectar la magnitud y/o dirección del mismo.

• c * u = [cux, cuy, cuz] ,      Siendo c un escalar, entonces: 

• c > 0 : es positivo, la magnitud aumenta y la dirección es la misma.
• c < 0 : es negativo, la magnitud aumenta y la dirección es opuesta.
• 0 < c < 1 : es positivo, la magnitud disminuye y la dirección es la misma.
• -1 < c < 0 : es negativo, la magnitud disminuye y la dirección es opuesta.

• Propiedades

Al igual que la multiplicación y la suma, los vectores también tiene propiedades que proveen más facilidad para operar.

- Siendo u, v y w vectores, c y d escalares: 

1. Propiedad conmutativa
• Suma: u + v = v + u
2. Propiedad asociativa
• Suma: u + (v + w) = (u + v) + w
• Multiplicación: (cd)u = c(du)
3. Propiedad identidad
• Suma: u + 0 = u
• Multiplicación: 1 * u = u
4. Propiedad distributiva
• c(u + v) = cu + cv 
• u(c + d) = uc + ud

• Combinación lineal

Es la suma de dos vectores que están siendo multiplicados por cada uno por un escalar. Esta se representa de la siguiente manera: 

Imagen no. 5: combinación lineal

Siendo a y b escalares, u y v vectores.